Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten - Anwendungen in Natur und Technik. Jokers edition 2007 (378 Seiten) für 12,95 €.
(www.jokers.de, Best-Nr. 397674 - Originalausgabe Elsevier/Spektrum) | www.r-krell.de | ||||||||||
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mit einer wechselnden Auswahl von Unterrichtsmaterialen zur Mathematik sowie Verweisen („Links") auf fremde Internetseiten.
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Da es umgekehrt mühsam ist, alle Formeln, Sonderzeichen, Abbildungen u.ä. einzeln in Bilder zu konvertieren und damit die Arbeitblätter ins Netz zu stellen -- zumal HTML nicht alle Formatierungen kennt, das Ergebnis also trotzdem oft unbefriedigend bleibt --, habe ich viele Beiträge im pdf-Format bereitgestellt (kostenloser Adobe-Acrobat-Reader erforderlich) oder direkt als seitengroße Bilder.
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Materialien & Klausuren aus der SII
Auf einer Sonderseite gibt's eine wechselnde Auswahl aktueller Klausuren. Außerdem findet sich hier z.Z. ein Arbeitsblatt aus dem Grundkurs in der Jahrgangsstufe 11 zum Lösen von Gleichungen 1. bis 4. Grades. Natürlich gibt's zu den Aufgaben auch Lösungen, die man sich aber erst nach eigenem, intensiven Bemühen um die richtigen Resultate ansehen sollte.
Extra-Seite: Mathe-Materialien & -Klausuren 11 bis 13
inkl. Überblick über Verfahren des Gleichungslösens bzw. der Nullstellenbestimmung
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Zentralabitur
Wegen des in Nordrhein-Westfalen eingeführten Zentralabiturs wurden - wie in anderen Fächern auch - im aktuellen und künftigen Mathematik-Unterricht einige kleinere Themenverschiebungen und/oder veränderte Gewichtungen vorgenommen, um Schülerinnen und Schülern optimal auf die angekündigten Prüfungsaufgaben bzw. die jetzt als besonders wichtig erklärten Themengebiete vorzubereiten.
Eine Übersicht über Themen sowie erste Beispielaufgaben für das Zentralabitur im Gymnasium finden sich für verschiedene Fächer, u.a. für Mathematik, auf
http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/abitur-gost/faecher.php
(In Mathematik gibt's neben allgemeinen Angaben auch Probe- und Beispielklausuren sowie Übungsaufgaben, die man sich ansehen sollte!).
Andere, über die zentralen Vorgaben hinaus gehende lehrplanmäßige Stoffe können und sollen natürlich weiterhin behandelt und in normalen Klausuren und mündlichen
Abiturprüfungen abgefragt werden.
In unserem Bildungsgang 1 „Abitur mit Schwerpunkt Mathematik und Informatik", der zum Berufskolleg gehört, begann das Zentralabitur im Jahr 2008 mit Informatik (und erst 2009 mit Mathematik). Für die Mathematik im Abitur 2010 bis 2011 findet man auf folgender Seite Vorgaben und Hinweise:
http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/abitur-bk/bildungsgang.php?id=21
Früher gab es auf der genannten Seite auch einen Verweis auf die zugehörigen Richtlinien ('Bildungspläne'); inzwischen findet man sie unter
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Lehrplan für die S I
Im Juni 2008 wurden neue Kernlehrpläne für die Klassen 5 bis 9 der Gymnasien in Nordrhein-Westfalen veröffentlicht, in denen die Schulzeitverkürzung berücksichtigt ist (G8=Gymnasium mit nur acht Jahren von Klasse 5 bis Jahrgangsstufe 12 - statt bisher neun Jahre von 5 bis 13). Hier eine Übersicht über die neuen Pläne
http://www.standardsicherung.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-sek-i
bzw. speziell zur Mathematik: http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-sek-i/gymnasium-g8/mathematik-g8/
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Rezensionen von Mathematik-Software
Im Laufe der Zeit habe ich einige Mathematik-Programme ausprobiert. Hier meine Meinung zu einigen Angeboten:
a) numerische Programme: Rechen- und Zeichenhilfen
c) Computer-Algebra-Systeme (CAS): genaues und symbolisches Rechnen, Termumformungen und Zeichnen
d) Dynamische Geometrie-Software (DGS). geometrisches Konstruieren, Abbilden, Bewegen und Messen
e) Software zur Linearen Algebra und zur Vektorgeometrie
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Übrigens: Von mir erstellte Software zur Mathematik (wie den Gleichungssystem-Löser LGS_2, der auch umgekehrte Kurvendiskussion beherrscht, oder das Programm WktBaum für die Stochastik in SI und SII) finden Sie auf meiner „Software"-Seite !
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Ein Buchtipp
Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten - Anwendungen in Natur und Technik. Jokers edition 2007 (378 Seiten) für 12,95 €.
(www.jokers.de, Best-Nr. 397674 - Originalausgabe Elsevier/Spektrum)
Dieses Buch sei jeder Mathematik-Lehrerin und jedem Mathematik-Lehrer, aber auch allen interessierten Oberstufenschülerinnen und -schülern an Herz gelegt. Einer groben mathematischen Fachsystematik folgend, bietet das Buch in 7 Kapiteln (von einfachen Gleichungen aus der Mittelstufe über einfache Geometrie und Trigonometrie bis zur Analysis und Vektorrechnung der Oberstufe) und zwei Anhängen (zu Zahlen und Musik) und in insgesamt über 50 Abschnitten eine Fülle von Anwendungen: Nach einer sehr kurzen mathematischen Einleitung werden prägnante Beispiele aufgeführt und mit den gerade vorgestellten mathematischen Mitteln behandelt.
Das Gelungene ist die Auswahl der Beispiele: Sei es die durchschnittliche Erosion des Tafelbergs pro Jahr, der Durchmesser eines Moleküls, die Schärfentiefe bei
Digitalaufnahmen, die Verzögerung beim Bungy-Jumping, der Grund für dünne Spinnenbeine und dicke Säulenbeine beim Elefanten, die Ausrichtung von
Sonnenspiegeln, das Maximalgewicht eines flugfähigen Vogels (oder auch Flugsauriers), die Planetenbewegung oder das Aufwickeln eines Taus: Mehrere Hundert
Anwendungen werden erfrischend knapp aber klar vorgestellt und kurz durchgerechnet. Die willkürlich herausgegriffene abgebildete Doppelseite zeigt den typischen
Aufbau des Buchs, das (bei mathematischer Vorbildung) durchaus auch als nicht zu schwierige Urlaubslektüre geeignet ist. Der Lehrer erhält eine Menge an Anregungen;
allerdings bleibt es ihm überlassen, die hier jeweils nur kurz umrissenen Beispiele so aufzubereiten, dass sie auch zum Einsteig oder zur Motivation der benötigten
Rechenwege und -verfahren im Schulunterricht dienen. Insofern unterschiedet sich der Ansatz hier von dem der Blikk-Webseiten oder dem der MUED (siehe weiter
unten auf dieser Seite). Trotzdem und besonders für den günstigen Preis kann ich das Buch nur empfehlen: ich habe es gern und mit Gewinn gelesen!
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Anwendungsbezug und Realitätsnähe in der Mathematik
Wirkliche Anwendungen kommen leider auch heute noch im Mathematik-Unterricht meist zu kurz. Es reicht nicht, mathematische Formeln und Verfahren innermathematisch anzuwenden oder dürftig in kurze Texte einzukleiden, die einen stark abstrahierten und idealisiert-verkürzten Verweis auf Alltagsprobleme andeuten. Solches Vorgehen hat in bestimmten Phasen sicher auch seinen Wert und Platz im Unterricht, lässt aber einen wichtigen Aspekt außer Acht.
Um Schülerinnen und Schülern den Sinn der Mathematik klar zu machen und sie zu befähigen, Mathematik selbst im Alltag anzuwenden - auch dann, wenn zufällig gerade keine Schulbuchaufgabe am Problem aufgedruckt ist - , ist es unerlässlich, im Unterricht auch das Mathematisieren und Abstrahieren selbst immer wieder zu üben. Ausgehend von offenen alltäglichen Situationen oder Problemen muss das allmähliche Analysieren, Herausarbeiten sinnvoller Fragestellungen und mathematische Formalisieren und Bearbeiten immer wieder durchgeführt und eingeübt werden. Auch über dabei durchgeführte Vereinfachungen, Annahmen, Idealisierungen und Grenzen der Modelle und Verfahren muss nachgedacht und gesprochen werden.
Am besten geschieht dies natürlich mit Handlungsbezug und in realen Situationen, möglichst aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler. Problemlagen können (und müssen) aber auch auf verschiedene Art in den Unterricht hereingeholt und vorgestellt werden. Die neuen Medien können dabei helfen, sind aber nicht automatisch Garant für einen besseren Unterricht oder einen aufrichtigen Zugang zur Realität. In meinen Rezensionen zur Mathematik-Software (s.o.) musste ich leider häufig bemängeln, dass dort herkömmliche Verkürzungen elektronisch fortgeschrieben werden.
Auf jeden Fall ein deutlicher Schritt in die richtige Richtung ist hingegen das für den Oberstufen-Unterricht angelegte reichhaltige Webangebot eines Teams um Willi van Lück auf dem südtiroler Blikk-Server:
Reale Probleme modellieren mit Mathe
http://www.blikk.it/angebote/modellmathe/medio.htm
In Anleitungen für Schüler und Lehrer wird die sinnvolle Nutzung der Materialien vorgeschlagen. Gedacht ist vor allem daran, dass neue mathematische Teilgebiete im Unterricht nicht fachsystematisch durch Entwickeln des mathematischen Kerns eingeführt werden müssen, sondern Schülerinnen und Schüler in Kleingruppen den Auftrag erhalten, sich jeweils aus dem Webangebot ein Problem heraus zu suchen und es zu bearbeiten. Erst nach dem Vorstellen verschiedener Probleme und verschiedener Ansätze durch die Gruppen soll dann das Gemeinsame, der mathematische Gedanke bzw. das neue Verfahren abstrahiert und formalisiert werden. So wird jedenfalls klar, wozu das Verfahren gebraucht wird. Und die Lernenden haben die erste Anwendung dazu schon - medial vermittelt - zumindest virtuell „erlebt". Stöbern auf diesen Webseiten lohnt auf jeden Fall!
Nach dem großen Erfolg des gerade vorgestellten Webangebots „Reale Probleme modellieren mit Mathe" für die SII wird übrigens zur Zeit von den gleichen Autoren (Willi van Lück u.a.) eine ähnliche internet-gestützte Mathe-Umgebung für jüngere Schülerinnen und Schüler (etwa der Klassen 3 bis 6, evtl. auch bis Klasse 7) aufgebaut: MatheÜberall - ca. 18 Projekte sind online (April 2007)! Auch hier lohnt das Reinschauen sowie das Lesen auch in den Handreichungen und pädagogischen Kommentaren und natürlich das Arbeiten mit dem bereitgestellten Material:
Mathe Überall (f. Klassen 3 bis 7)
www.blikk.it/angebote/primarmathe/medio.htm
(Weitere Hinweise sowie Links zum Einsatz neuer Medien, auch in http://www.blikk.it/angebote/schulegestalten/neuemedien/medio.htm.)
Auch die Seite des Lehrers Werner Brefeld,
Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben
nennt Beispiele echter Anwendungen der Mathematik. Anders als bei den vorgenannten südtiroler Seiten ist hier allerdings der Schritt von der komplexen
Anwendungssituation hin zur schulbuchaufgaben-ähnlichen, mathematischen Beschreibung meist schon getan (was allerdings nach manchem eher traditionellem
Unterricht den Einstieg vielleicht vereinfacht und so dann auch Mut zu Behandlung von Problemen aus realistischeren Zusammenhängen macht).
Vielleicht helfen ja jetzt die Aktionen zum Jahr der Mathematik 2008 (s.u.), die Lebensnähe der Mathematik mehr ins Bewusstsein zu rücken!
Auch auf dem nordrhein-westfälischen Bildungsserver Learn:Line findet sich mit Geduld viel Gutes (aber nicht nur). Hier soll nur die Übersichtsseite „Lernen mit neuen Medien in der Mathematik" genannt werden. Früher fand sich bei der Suche nach Modellen und Simulation noch einiges Brauchbares mit Bezug zu verschiedenen Fächern; inzwischen (Oktober 2009) werden die eigenen Suchergebnisse von Learn:Line nicht mehr gefunden:
Lernen mit Neuen Medien - http://www.learn-line.nrw.de/angebote/neuemedien/medio/mathe/mathe01.htm
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Die MUED ist ein Verein engagierter Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer aller Bundesländer und Schulformen. Ziel ist es, beziehungshaltigen, realitätsnahen Unterricht zu gestalten und Schülerinnen und Schüler als Menschen Ernst zu nehmen (und die Lerninhalte und -formen entsprechend zu wählen). Statt Mathematik an trockenen Buchaufgaben zu üben, sollen möglichst echte, sinnvolle Beispiele verwendet werden. Der zusätzliche Nebeneffekt, dass Schülerinnen und Schüler dadurch außer Mathematik noch etwas über den behandelten Gegenstand lernen, ist gewollt. Leider ist es bei der Unterrichts-Vorbereitung nicht immer leicht, relevante Informationen zu beschaffen (woran die Schülerinnen und Schüler übrigens beteiligt werden können und sollen!). Deswegen werden erstellte Arbeitsmaterialen und Erfahrungen von einigen Lehrerinnen und Lehrern untereinander ausgetauscht. So können von Mitgliedern bei der MUED-Zentrale
MUED e.V.
Bahnhofstr. 72
48301 Nottuln-Appelhülsen
viele Hunderte von Unterrichteinheiten entliehen werden -- was auch den vielleicht etwas unglücklichen Namen Mathematik-Unterrichts-Einheiten-Datei erklärt. In Appelhülsen gibt's weitere Informationen für Interessenten sowie (gegen Gebühr) Kataloge, den mehrfach jährlich erscheinenden Rundbrief, usw. Der Verein ist unter
http://www.mued.de bzw. http://die-mueden.de
auch im Internet vertreten (aufs Startbild klicken, damit mehr zu sehen ist!). Eine erste Annäherung kann z.B. auch über das jeweilige Arbeitsblatt des Monats erfolgen.
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Stochastik in der SII
Sie finden umfangreiche Beiträge und Arbeitsmaterialien zur Stochastik in der Sekundarstufe II, u.a. zu
zum Ansehen und/oder Herunterladen zusammengefasst in einer pdf-Datei:
| Stochastik in der SII -- 23 Seiten Beiträge, Arbeitsblätter, Klausuraufgaben und Lösungen aus dem bzw. für den Unterricht; erprobt im Mathematik-Grundkurs 12/13: Texte mit Formeln und Abbildungen (Adobe-Acrobat-Reader nötig). |
| Lesen (oder Download mit Rechtsklick und „Ziel speichern unter.."): stoch_s2.pdf, 626 kB |
Mehr zu dem in der pdf-Datei erwähnten (und mit dem 10-DM-Schein-Bild vorgestellten) Mathematiker C. F. Gauß gibt's übrigens auf der Webseite genie-gauss.de, die unten am Ende meiner Verweise aufgeführt ist.
Zur eigenen Berechnung von Tabellen der Binomial-Verteilung für beliebige n und p gibt's außerdem eine interaktives Excel-Arbeitsblatt, das nach dem Herunterladen (Rechtsklick auf den nachfolgenden Link und „Ziel speichern unter..") natürlich auch mit vielen anderen Tabellenkalkulationsprogrammen benutzt werden kann, u.a. auch mit dem kostenlosen Calc von OpenOffice.org:
Rechenblatt „binomialtabelle.xls" (96 kB)
Und Stichprobenergebnisse binomialverteilter Zufallsgrößen lassen sich - zur Veranschaulichung von Lieferanten- oder Abnehmerrisiko bzw. der Signifikanz von Hypothesentests - auf meiner nachfolgenden Extraseite online zufällig erzeugen bzw. simulieren:
Extraseite: Simulation von Zufalls-Stichproben
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Einführung in die Integralrechnung
u.a. mit Fotovoltaik und Weinflasche
Im Leistungskurs 12 hatte ich das (Riemannn-)Integral bzw. zunächst die Idee der Summenbildung für die Flächenbestimmung mit Daten unserer Fotovoltaik-Anlage eingeführt. Dann wurde in einem Rollenspiel zwischen Käufern und Verkäufern um die Größe einer krummlinig berandeten Wiese gefeilscht. Mit Excel-Arbeitsblättern wurde anschließend die Wiesenfläche durch Ober- und Untersummen hinreichend genau bestimmt. Näheres gibt's auf der
Extra-Seite: Integralrechnung/Flächenberechnung mit Fotovoltaik-Daten, einer Wiese und Excel
Und weil ich 2005 an einem MuPAD-Kurs teilgenommen hatte, habe ich die damals im Unterricht „normal" (also ohne das CAS-Programm) durchgeführte Bestimmung des Volumens einer Weinflasche zur meiner Übung mit dem Programm dokumentiert. Das erstellte Notebook wurde im Mai 2005 auf dem MuPAD-Server veröffentlicht. Nachdem MuPAD seit Oktober 2008 nicht mehr als eigenständiges Programm existiert, wurden allerdings auch die MuPAD-Webseiten eingestellt. Vorübergehend war -- bis Sommer 2009 -- auf private Initiative eines MuPAD-Mitarbeiters ein Großteil des Materials noch auf dem Bildungsserver der Zentrale für Unterrichtsmedien erreichbar. Jetzt gibt es offenbar keine zusammenhängende Sammlung der Materialien mehr. Natürlich können Sie meinen Beitrag hier in meinem Webangebot ansehen bzw. herunter laden. Die vielen dort eingearbeiteten Verweise auf andere MuPAD-Seiten gehen allerdings inzwischen ins Leere...
RotationskoerperWeinflasche.pdf (190 kB)
Rotationskoerper_Weinflasche.mnb (ca. 400 kB; Notebook für MuPAD 3.1)
bzw. Rotationskoerper_Weinflasche.mn (ca. 250 kB; für MuPAD 4)
Hinweise: Die Einführung in die Integralrechnung mit Fotovoltaik, Excel und der Wiese ebenso wie die Weinflasche wurden im Mai 2005 auch als MUED-Unterrichtseinheiten (AN-09-04 bzw. AN-10-05) aufgenommen und können von MUED-Mitgliedern unter http://www.mued.de im SII-Analysis-Bereich als pdf-Dateien eingesehen bzw. herunter geladen werden. Außerdem diente mir die Wiese als Testaufgabe bei der Besprechung der CAS-Programme Derive, MuPAD und GeoGebra auf meiner Seite „Rezensionen von Mathematik-Software, Teil c)" (s.o.).
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Trigonometrie und Fotovoltaik
Hier geht es -- ähnlich wie bei der gerade zuvor erwähnten Einführung in die Integralrechnung -- um die Einbindung unserer Fotovoltaik-Anlage in den (Mathematik-)Unterricht, jetzt in der SI. Einen Stundenentwurf für die 10. Klasse gibt's auf einer
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Größte bekannte Primzahl
Nach fast zwei Jahren ohne neuen Rekord wurden im Herbst 2008 zwei, nämlich die 45. und 46. Mersenne-Primzahlen entdeckt. Im April 2009 folgte dann die Entdeckung der 47. Mersenne-Primzahl, die allerdings zwischen den beiden zuvor entdeckten liegt. Mit der 45. Primzahl wurde erstmals die 10-Mio-Dezimalstellen-Grenze überschritten und damit der von der Electronic Frontier Foundation vor einigen Jahren ausgelobte Preis von 100 000 US-$ gewonnen (den die Organisatoren des GIMPS-Projekts allerdings unter mehreren Teilnehmern aufteilen wollen - es ist ja eher Zufall, wer welche Zahl zum Prüfen kriegt).
Die 45. Mersenne-Primzahl wurde hier ganz in der Nähe entdeckt: in Langenfeld, im Rheinland zwischen Köln und Düsseldorf gelegen. Diese inzwischen nur noch drittgrößte bekannte Primzahl kann als 237 156 667 - 1 angegeben werden und hat, rechnet man die Potenz aus, 11 182 272 Dezimalstellen! Die neueste, 47. Mersenne-Primzahl 242 643 801 - 1 hat 12 837 064 Dezimalstellen Der Entdecker dieser Primzahl ist ein Informatiker aus Norwegen, der seit 1994 schon über 1400 Kandidaten getestet hat, um jetzt -- nach 29 Tagen Rechenzeit -- endlich diese Primzahl zu finden. Inzwischen wurde sein Test nachgerechnet und anerkannt. Die vorher entdeckte, größere 46. Mersenne-Zahl 243 112 609 - 1 hat mit 12 978 189 fast dreizehn Millionen Stellen. Wer diese Zahl hin- bzw. abschreiben will und pro Sekunde zwei Ziffern zu Papier bringt und acht Stunden pro Tag an 5 Tagen der Woche arbeitet, wäre nur mit dem Schreiben 45 Wochen, also mehr als 10 Monate, beschäftigt!
Die im September 2006 entdeckte 44. Mersenne-Primzahl 232.582.657 - 1 hatte noch nur 9,8 Millionen Stellen und war -- wie schon die 43. Mersenne-Primzahl -- von einem Team der Central Missouri State University gefunden worden, das 700 Uni-PCs nach Feierabend genutzt hat. Wie in den letzten Jahren üblich, wurden alle hier genannten Primzahlen im Rahmen des GIMPS-Projektes dadurch erkannt, dass viele PC-Besitzer ihre(n) Computer zu Hause (oder in der Uni bzw. am Arbeitsplatz), wenn sie ihn/sie nicht selber brauchen, in den Dienst der Wissenschaft stellen. So wurde z.B. die 42. Mersenne-Primzahl im Sommer 2005 zufällig nach nur 5 Tagen Rechenarbeit von den 24 Rechnern in einem deutschen Augenzentrum aufgespürt. Davor hatte ein kanadischer Schüler nach 45 Tagen Rechenzeit auf seinem Home-Computer vorübergehend den Rekord mit der bis dahin größten bekannten Primzahl inne.
Selbst wenn man jetzt weiß, dass 243 112 609 - 1 eine Primzahl ist, kann man sich diese Zahl nicht mehr auf dem Taschenrechner anzeigen lassen - auch nicht in wissenschaftlicher Darstellung (Der Taschenrechner zeigt die ersten zehn oder zwölf Stellen von maximal 100-stelligen Zahlen [knapp 0,0008% der hier geforderten Größe]; längere Zahlen führen zum „Error"). Aber auf dem PC gelingt es in wenigen Tagen, alle fast dreizehn Millionen Stellen zu berechnen, wenn man ein geeignetes Programm wie das kleine kostenlose WinCalc aus der Reihe der unten in den Verweisen genannten Peanut-Software von R. Parris hat. Wer sein Gerät nicht mehrere Tage beschäftigen will, kann dort die kompletten Ziffern der Primzahlen auch in einer selbstentpackenden, über 6-MB-Datei großen Dateien von der WinCalc-Seite herunterladen - inzwischen auch die neueste 47. Mersenne-Primzahl!
Im 17. Jahrhundert war dem Mönch und Mathematiker Mersenne aufgefallen, dass viele Primzahlen eine Darstellung der Form 2n - 1 haben, z.B. 3 = 22 - 1 oder 7 = 23 - 1. Allerdings können keineswegs alle Primzahlen nach dieser Formel berechnet werden: 5, 11 oder 13 sind beispielsweise Primzahlen, ohne Mersenne-Primzahlen zu sein. Insofern gibt es auch unter der jetzt bekannten größten Primzahl noch ganz viele unbekannte Primzahlen, die auf ihre Entdeckung warten! Auch längst nicht alle Zahlen, die nach dieser Formel berechnet werden, sind wirklich Primzahlen - wie man etwa an 24 - 1 = 15 = 3 • 5 sehen kann. [Mehr über Mersenne-Primzahlen gibt's z.B. auf den Seiten http://www.achimpassauer.privat.t-online.de/homepage.htm oder inzwischen auch bei Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl].
Beim GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search, inzwischen auch www.mersenne.org) probiert man einfach nacheinander für alle natürlichen Zahlen n aus, welche Ergebnisse nach der Formel 2 n - 1 tatsächlich Primzahlen sind. Die allermeisten sind keine Primzahlen, aber die Zahlen, die der kanadische Schüler, der deutsche Augenarzt, das Central-Missouri-Team, die UVCLA-Gruppe oder der Langenfelder H. Elvenich überprüft haben, waren Primzahlen. Viele, viele andere Teilnehmer am GIMPS-Projekt hatten hingegen Pech: die von ihnen überprüften Zahlen erwiesen sich nach langem Rechnen doch als teilbar.
Und für die erste Primzahl mit mindestens zehn Million Stellen wurde im Oktober 2009 nach sorgfältiger Prüfung der bereits oben erwähnte Preis von 100.000 US-Dollar von http://www.eff.org/awards/coop.php an die GIMPS ausgezahlt; davor war im Jahr 2000 bereits der Preis für die erste Primzahl mit einer Million Stellen ausgezahlt worden. Aber keine Angst: Jeder kann noch gewinnen: Denn für die erste Primzahl mit 100 Millionen Stellen will die Electronic Frontier Foundation 150 000 Dollar ausgeben!
Einen Überblick über weitere Projekte geballten Home-Computereinsatzes im Internet gibt z.B.
Übrigens: Bei dem wohl bekanntesten Projekt mit verteilter Rechenleistung arbeiteten schon 2005 weltweit rund 5 Millionen PCs daran, jeweils kleine Stücke der von Radioteleskopen aus dem Weltraum aufgenommenen Daten nach intelligent wirkenden Mustern zu durchforsten, um so nach Signalen außerirdischer Lebewesen zu suchen: Das Seti@home-Projekt hat damit mehr als die doppelte Rechenkapazität als der damals schnellste Supercomputer der Welt, „BlueGene/L", wie die Physikalisch-Technische Bundesanstalt in der gedruckten Ausgabe ihrer Zeitschrift „Maßstäbe" im September/Oktober 2005 meldet.
Aber auch Firmen haben die Möglichkeiten des verteilten Rechnens mittlerweile entdeckt; angeblich nutzen vor allem Pharmaunternehmen ihre Bürocomputer auch schon zur rechenintensiven Simulation von Molekülstrukturen. Und das europäische (Kern-)Forschungszentrum CERN, das schon mit der Erfindung der Hyperlinks und der Entwicklung des WWW (world wide web) 1993 dem Internet zum Durchbruch verholfen hat, nimmt sich inzwischen des verteilten Rechnens im Internet an und versucht, allgemeine Regeln und Verfahren für das Grid-Computing zu entwickeln, u.a. um die hohe für die Teilchenphysik benötigte Rechenleistung auf viele Geräte zu verteilen. Grundsätzliche Informationen im virtuellen Grid Café des CERN oder auch bei/auf www.gridforum.org.
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Neue schnelle Primzahlprüfung gefunden
Den Informatikern Agarwal, Kayal und Saxena ist Ende 2002 in Indien ein Durchbruch in der Primzahl-Prüfung gelungen.
Um festzustellen, ob eine Zahl Primzahl ist oder nicht, musste früher mit allen kleineren Zahlen ausprobiert werden, ob sie die vermutete Primzahl teilen. Zwar konnten einige Zahlen weg gelassen werden: Will man wissen, ob z.B. 1001 eine Primzahl ist, ist der größte Teiler, den man probieren muss, die Wurzel aus 1001 bzw. die nächstkleinere ganze Zahl (hier 31) (weil Wurzel(p) mal Wurzel(p) die Primzahl p ergibt. Ein größerer Faktor auf der einen Seite hätte einen kleineren Faktor auf der anderen Seite zur Folge, so dass die Kombination schon beim kleinen Faktor gefunden würde). Mit anderen Worten, man müsste die Divisionen 1001 : 2, 1001 : 3, 1001 : 4, 1001 : 5, .. , 1001 : 31 durchführen und jedesmal prüfen, ob sie restlos aufgehen. Nur wenn keine Division mit ganzem Ergebnis gelingt, ist die 1001 eine Primzahl. Zwar können noch einige mögliche Teiler weg gelassen werden (wenn 1001 nicht durch 2 teilbar ist, braucht man 4, 6, 8.. oder andere Teiler aus der Zweierreihe nicht mehr probieren - Gleiches gilt natürlich für alle anderen Reihen! Außerdem können gerade Zahlen > 2 nie prim sein, sodass man sich die Überprüfung mit 2 und ihren Vielfachen sowieso schenken kann). Dies fiel schon vor rund 2300 Jahren dem Griechen Eratosthenes auf („Sieb des Eratosthenes"). Bleiben auf diese Weise nur 10 % der kleineren Zahlen als mögliche Teiler übrig, so müssen hier nur 3 Divisionen durchgeführt werden, um festzustellen, ob 1001 prim ist (es sei denn, man hat schon vorher einen echten Teiler gefunden und weiß deshalb, dass 1001 keine Primzahl ist).
3 Rechenoperationen gehen bei einem Computer natürlich blitzschnell. Um herauszufinden, ob die etwa zehn Mal so große Zahl 10 001 eine Primzahl ist, wären dann 10% von Wurzel(10 001), also etwa 10 Operationen nötig. Für jede zusätzliche Stelle der Primzahl verdreifacht sich ungefähr die Anzahl der Divisionen. Um die neun- bzw. zehnstellige Zahl 1 000 000 001 = 10 9 + 1 auf ihre Primzahleigenschaft zu prüfen, wären dann 31 621 Divisionen nötig - mit einem Computer in wenigen Sekunden machbar.
Und für eine vermutete Primzahl mit 4 Millionen Dezimalstellen wären nach diesem Verfahren nicht etwa 400 000 (= 10 % von 4 Millionen) Divisionen, sondern 0,1 • 10 2 000 000 (= 10 % von Wurzel(10 4 000 000)) Divisionen nötig. Selbst ein schneller Computer, der pro Sekunde 10 000 Divisionen durchführen kann, wäre damit 0,1 • 10 2 000 000 Sekunden = 2,7 • 10 1 999 995 Stunden = 3,2 • 10 1 999 991 Jahre beschäftigt. Ziemlich lange, wenn man bedenkt, dass unser Weltall bisher nur etwa 15 Milliarden Jahre = 1,5 • 10 10 Jahre alt ist. Auch die Vertausendfachung der Rechenleistung bringt hier keinen spürbaren Gewinn (dann wären es „nur" noch 3,2 • 10 1 999 989 Jahre!).
Jedes Rechenverfahren, dessen Aufwand mit dem Wert der untersuchten (Prim-)Zahl ansteigt (das also mit dem Exponenten oben an der 10 wächst, weswegen man von exponentiellem Aufwand spricht), ist für große Zahlen nicht mehr in annehmbarer Zeit durchführbar. Für eine Reihe von Problemen (u.a. der Suche nach einem optimalen Stundenplan) sind bisher nur Verfahren mit exponentiellem Aufwand bekannt (weswegen sich praktische Verfahren mit einem nicht optimalen Stundenplan begnügen müssen). Auch das verbreitete RSA-Verschlüsselungsverfahren macht sich zu Nutze, dass eine Entschlüsselung nach der durchaus bekannten Methode wahrscheinlich so viele Jahre bzw. Jahrzehnte dauern würde, dass bis dahin jede Nachricht ihren Wert verloren hat.
Erst seit etwa 1985 gibt es schnellere Verfahren für die Prüfung auf die Primzahl-Eigenschaft, die aber zum Teil stochastische Methoden benutzen und nicht immer zuverlässige, exakte Aussagen liefern.
Deshalb ist es von entscheidendem Vorteil, wenn Agarwal, Saxena und Kayal 2002 ein Verfahren gefunden haben, das nicht mehr exponentiell, sondern nur noch in Polynomzeit vom Wert der zu untersuchenden Primzahl abhängt. Nach diesem Verfahren ist der Aufwand nicht mehr exponentiell durch (0,1 • ) 10 Stellenzahl der Primzahl / 2 , sondern nur noch durch Stellenzahl 7,5 beschränkt, d.h. für eine Primzahl mit 4 Millionen Stellen wären „nur" etwa 4 000 000 7,5 = 3,3 • 10 49 Rechenoperationen nötig - viel viel weniger als 0,1 • 10 2 000 000 Operationen, aber immer noch eine riesige, kaum zu bewältigende Zahl: der besagte Computer würde immer noch rund 10 38 Jahre ( = 10 28 mal das Alter unseres Universums) brauchen. Soweit die wenig ermutigende Komplexitätstheorie.
Allerdings gibt es für Primzahlen spezieller Bauform (wie für die oben erwähnten Mersenne-Zahlen oder für Fermat-Primzahlen) unter Ausnutzung ihrer besonderen Gestalt deutlich schnellere Verfahren - sonst wären auch mit verteilter Rechenkraft nicht so viele Mersenne-Primzahlen zu finden gewesen wie im vorstehenden Abschnitt beschrieben. Mersenne-Primzahlen können etwa mit dem Lucas/Lehmer-Test rasch (d.h. binnen Wochen statt in Jahrmilliarden) geprüft werden (http://de.wikipedia.org/wiki/Mersenne-Primzahl) und für die Fermat'schen Primzahlen nennt z.B. Wikipedia (im April 2008) die schnellen Tests nach Pepin oder Suyama (http://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Zahl).
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Mathematik-Adventskalender
Im Dezember 2009 gabt es wieder den mathematischen Adventskalender der Deutschen Forschungsgesellschaft/MatheOn. Wer sich registriert bzw. angemeldet hatte, konnte bei rechtzeitiger Einsendung richtiger Lösungen sogar Einiges gewinnen -- die Chance ist inzwischen natürlich vorbei. Schade, wer sie ungenutzt hat verstreichen lassen (vielleich klappt's ja im Dezember 2010 -- jetzt schon Mal im Kalender Mitte November 2010 zum Registrieren vormerken!). Aber die Aufgaben gibt's zum Glück trotzdem noch und haben an Attraktivität nichts eingebüßt. Sie richten sich an Schülerinnen und Schüler der Klassen 10 bis 13 und erfordern eher gesunden Menschenverstand und Nachdenken über praktische Zusammenhänge als unbedingt komplizierte Rechentechniken -- obwohl ich sie dieses Jahr als etwas schwerer empfand als in früheren Jahren. Aber sehen und urteilen Sie selbst. Unter "Kalender" und dort dann unter "Archiv" findet man auch die Aufgaben mit Lösungen der vergangenen Jahre jeweils in einer pdf-Datei zusammen gepackt ("Lösungsheft 2004" bis "Lösungsheft 2008"). Und die vom Dezember 2009 sind noch (jetzt sogar jeweils mit Möglichkeit zum Download der Lösung) unter
Und für die Jüngeren (ab Klasse 5) bot die gleiche Gruppe Ende 2009 zum zweiten Mal einen Mathe-Adventskalender mit leichteren Fragen, der ebenfalls noch verfügbar ist:
Aber auch andere Anbieter versteckten Matheaufgaben und -rätsel hinter Türchen -- so ein Mathe-Lehrer, der offenbar keine Sponsoren für zugkräftige Preise fand, sondern nur einen virtuellen Preis für die Lösungen seiner durchaus interessanten, auch schon für jüngere Schüler geeigneten Aufgaben ausloben konnte. Der Spaß kommt eben beim Knobeln bzw. als Freude an der Mathematik und über gelungene Lösungen -- wer braucht da noch weitere Anreize? Und Knobeln kann man auch jetzt noch:
http://www.mathe-spass.de/advent
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2008 war das Jahr der Mathematik
Das Jahr 2008 wurde zum Wissenschaftsjahr der Mathematik ausgerufen - inzwischen hat man immer wieder einzelne Aktionen zum Thema erleben dürfen, obwohl die breite Öffentlichkeit offenbar nicht wirklich erreicht wurde. Die Webseite
gibt nähere Auskunft. Mit dem Slogan „Du kannst mehr Mathe, als du denkst" sollten Berührungsängste abgebaut werden. Unter der Überschrift „Mathematik. Alles was zählt" wurden einige Bereiche anschaulich vorgestellt und die Bedeutung der Mathematik für unseren Alltag hervor gehoben. Mathematik im Sport sowie Rätsel und ein Quiz fehlten ebensowenig wie interessante Verweise.
Gut gefallen hatte mir der Besuch auf dem Mathe-Schiff, das im Sommer und Herbst 2008 in vielen deutschen Flusshäfen, u.a. auch in Düsseldorf, angelegt hatte. Bereits in den vergangenen Jahren war das Schiff mit anderen Ausstellungen für „Wissenschaft im Dialog" auf Reisen gegangen, 2009 war es im Rahmen der „Forschungsexpedition Deutschland" (so der Titel des neuen Wissenschaftsjahres) unterwegs. Was wojl in 2010 zu erwarten ist? Auf der Webseite der
erfährt man mehr.
Im Rahmen des Mathe-Jahres hatte der deutsche Städtetag die Kommunen zur eigenen Aktionen aufgerufen. 23 deutsche Städte beteiligten sich mit mathematischen Planspielen. Am Düsseldorfer Projekt (ausgerichtet in Zusammenarbeit mit dem Düsseldorfer Amt für Verkehrsmanagement und der städtischen Begabtenförderung) zum Thema Verkehrslenkung und Stauvermeidung hatte auch ein Schüler unserer Schule mit maßgeblichen Beiträgen teilgenommen. Das Projekt wurde als eines der besten ausgezeichnet, die Mitwirkenden kurz vor Weihnachten 2008 im Rathaus geehrt! Das Projekt wird auch auf Seite 10 der pdf-Datei „Mathe-entdecken" erwähnt.
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Verweise
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| learn:line Mathematik | Mathematik-Leitseite der Medienzentralen NRW mit sehr gutem Angebot, hilfreichen Informationen und Empfehlungen sowie kommentierten Verweisen auf weitere Seiten |
| Mathe-Treff | Lohnender Lerntreff für Schüler und Lehrer, eingerichtet von der Bezirksregierung Düsseldorf |
| Mathe-Werkstatt | Auch einer der Betreuer des Mathe-Treffs, Herr Elschenbroich, bietet auf seiner Homepage zusätzlich sehr viel Interessantes zur und rund um die Mathematik. |
| MUED e.V. | Anwendungs- und handlungsorientierte Mathematik. Mehr über diesen Verein weiter oben auf dieser Seite . |
| Reale Probleme modellieren mit Mathe | Umfangreiches und lohnenswertes Webangebot für die SII mit vielfältigen Anregungen, Mathematik aus realen Beispielen zu extrahieren |
| MatheÜberall | Virtuelles Erforschen der Mathematik für die Klassen 3 bis 7 |
| Lernprogramme aus NL | Interessant ist auf jeden Fall auch der niederländische Ansatz kontextbezogener Mathematik, der z.T. auf learn:line und vom Freundenthal-Institut vorgestellt wird. Kern der Wisweb-Seite sind die zahlreichen Applets, die zum interaktiven Entdecken der Mathematik anleiten sollen (und nach Klick auf das deutsche Fähnchen inzwischen auch in deutscher Sprache zur Verfügung stehen!) |
| Realistic Math Education (engl.) | |
| Wisweb | |
| Sinus-Transfer | Sinus-Projekt (=Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts) an der Uni Bayreuth u.a.: Material und Beiträge für einen ganzheitlicheren Ansatz im Mathematikunterricht |
| mathe1 | Das kostenlose Online-Mathebuch für die Klassen 1 (bzw. 5) bis 11 |
| Materialien zum Selbstständigen Arbeiten | In seinem inzwischen zu http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/ gewanderten Internetportal „Materialien zum Selbstständigen Arbeiten" verweist Thomas Unkelbach auf fast 3000 bewegte bzw. interaktive Materialien für Mathematik und Physik in SI und SII, gibt kurze Erklärungen und zeigt auch Abitur- und Abschlussprüfungen aus verschiedenen Bundesländern. Schön! |
| MatheOnline Hintergründe | Umfangreiche Materialien der Uni Wien, nach Themengebieten und Unterrichtsgegenständen geordnet. Zusätzliche Verzweigungen zu einem mathem. Lexikon, zu Online-Werkzeugen (siehe auch unten: Online-Berechnungen und Mathepower), zur Galerie von Java-Applets,... |
| emath.de | Rainer Müller stellt - inzwischen leider kostenpflichtig - Zentral-Abi-Aufgaben mit Lösungen vor, erlaubt das Herunterladen eines Abi-Vorbereitungskurses („Know-How"), bietet online-Berechnungen bzw. Freeware-Tools (schön: „Geo" für die Analytische Geometrie) und moderiert ein Forum („Mathe-Board") für mathematische Fragen |
| Arne Madincea | Internetseiten eines Berliner Mathelehrers, der Unterrichtsmaterial und Abiturvorschläge zum Download bereit stellt |
| Mathe-Material.info | Patrick Biemans veröffentlicht Grafiken und Arbeitsblätter für den Mathematikunterricht |
| mathe-schule | Jens Bernheiden bietet auf seinen Webseiten empfehlenswerte Materialien zur Mathematik, aber auch zur Physik und Informatik. |
| Christian Rieger: Mathemat. Labyrinth | Hier finden sich recht unterschiedliche Beiträge: Zur Geschichte der Mathematik, Merksätze für pi und e, Mathe-Lyrik, Zitate, Mathematische Rekorde, Querverweise, ein Mathe-Kalender... |
| Tino Hempel | Tipps zum schriftlichen Wurzelziehen und mehr zu Mathematik, aber auch Informatik und Physik finden sich auf dieser Seite eines Lehrers |
| Werner Pieper | Nach dem Versiegen der "Mathe-Quelle" hat einer der Autoren hier seine Seiten für Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer untergebracht. Hier gibt es auch sein (Shareware-)Programm 'AG' [Analytische Geometrie], das auf meiner Rezensionsseite e) besprochen ist. |
| MathePrisma | Zu vielen mathematischen Themen und einigen Informatikbereichen hält die Uni Wuppertal schöne mehrseitige interaktive Module zum Online-Lernen oder auch zum Download bereit |
| SMART | Eine Datenbank (gepflegt von der Uni Bayreuth) mit inzwischen über 4000 Mathe- und Physik-Aufgaben bietet Beispiele zu fast jedem Schulthema (Gymnasium und Realschule) |
| DWU-Materialien | Unterrichtsmaterialien für Mathematik (fast 400 Seiten) und Physik (rund 300 Seiten) von Dieter Welz auf dem ZUM-Server |
| ZUM-Mathematik | Zentrale für Unterrichtsmaterialen, hier: Mathe-Leitseite |
| Mathe-Werkstatt-Links | Herr Elschenbroich bietet in der Kategorie „Links & Laden" (am linken Rand seiner Seite anklicken!) eine Übersicht über weitere Bildungsserver, Verweise zu den großen Schulbuchverlagen, zu weiteren Mathe-Homepages und zu Mathe-Newsgroups |
| Mathe und Humor | Hier gibt's Elschenbroichs Verweise von 2004 auf Mathe-Witze... |
| Mathewitze | .. und auch hier wird gezeigt, dass Mathe keineswegs humorlos ist! |
| Online-Berechnungen | Übersicht über Seiten, wo online eingetippte Funktionsterme algebraisch differenziert, integriert oder gezeichnet werden können; Verweise auf Gleichungslöser und anspruchsvolle numerische oder algebraische Bestimmungen; dynamische Geometrie (siehe auch oben: MatheOnline Hintergründe und emath, sowie den folgenden Link: Mathepower) -- gut gepflegt von Bildungseinrichtungen in Österreich |
| Paraview.de | Java-Applet, um online den Einfluss verschiedener Formvariablen bei einer Funktion zu veranschaulichen. (Es kann auch eine Downloadversion des Programms gekauft werden) |
| Mathepower | Kostenlose Online-Berechnungen für die typischen Mathe-Aufgaben der 1. bis 10. Klasse - vielfach, z.B. beim Lösen quadrat. Gleichungen, werden außer dem Ergebnis auch die algebraischen Umformungsschritte angezeigt. Gelungen! |
| Mathematik Online | Eine Art FAQ zur Mathematik -- Antworten zu einigen (recht willkürlich) ausgewählten Fragen zur und über die Mathematik. Offenbar sind Leseranfragen willkommen. |
| matheboard.de | An diesem „Schwarzen Brett" kann jeder Fragen zur Mathematik 'posten' (aufschreiben und aushängen), die dann von anderen Besucherinnen und Besuchern der Seite beantwortet werden - mal gut, mal weniger gut. Meist erhält man mehrere Antworten. Natürlich kann man auch selbst auf andere Fragen antworten. Ebenfalls vorhanden: Boards zu Physik und Latein! |
| ZahlReich | Hausaufgaben, Referate, Schwarzes Brett für Fragen und Hilfen, Verweise zu einem Mathe-Lexikon, einer Formelsammlung und einem Funktionsplotter (als Angebot einer Versandbuchhandlung). Mehr Referate siehe auch in den Verweisen auf meiner Seite & mehr . |
| Mathe-CD | In diesem ehrgeizigen Projekt werden Tausende schultypischer Mathe-Aufgaben zusammen getragen. Auch wenn nur ein kleiner Teil kostenlos sichtbar ist (für den Rest soll die CD gekauft werden), reicht auch das schon für viele, viele Übungen! |
| Schülerwettbewerbe | Verweise auf im Internet publizierte Wettbewerbe, u.a. zum Bundeswettbewerb Mathematik und den Mathematik-Olympiaden |
| Känguru | Der Mathe-Wettbewerb mit den meisten Teilnehmern (ab der Unterstufe!) |
| math4u | Mehr als 470 Aufgaben, um auf Mathe-Wettbewerbe und -Olympiaden vorzubereiten |
| Zahlenjagd | Eine österreichische Seite mit einem Sammelsurium zur Mathematik, u.a. Facharbeiten und Rätseln |
| Wurzel | Auch der Verein Wurzel e.V. aus Jena, der die gleichnamige monatliche Zeitschrift für mathematisch interessierte Schüler heraus gibt, hält auf der Webseite u.a. einige Knobeleien bereit |
| Mathe-Rätsel | Ingmar Rubin bietet einige ziemlich anspruchsvolle Mathe-Aufgaben |
| Mathworld | Eric Weissteins anspruchsvolle mathematische Schatzkiste (engl.) |
| claymath.org | Großes Geld verdienen mit Mathe? Für die Lösung von sieben so genannter Millenium-Probleme sind Preisgelder von je 1.000.000 $ ausgesetzt! (engl.) |
| Hochbegabung-Links | Verweise zur Hochbegabung |
| Peanut-Software | Einige sehr schöne kostenlose Mathe-Programme (u.a. für Funktionsgraphen, Matrizenrechnung, Stochastik, Fraktale, Berechnung alle Stellen von großen Zahlen,..) von R. Parris, Mathe-Dozent aus Exeter/USA |
| Software-Download bzw. Download-Übersicht | Meine Programme zum Herunterladen, u.a. WktBaum (Stochastik), LGS_2 (Gleichungssysteme und Umgekehrte Kurvendiskussion), Sin&Cos (Trigonometrie) sowie Informatik-Programme. (Mehr Mathematik-Unterrichtsmaterial gibt's weiter oben auf dieser Seite, ansonsten auch auf meiner Informatikseite ) |
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